Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{3} - 27}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{3} - 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(3 + x)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $27$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(3 + 0)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{3} - 27}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{3} - 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{3} - 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(3 + x)}^{3} - 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{3}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 3 + x$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $3 {(3 + x)}^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(3 + x)}^{2}}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $3 {(3 + x)}^{2}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 {(3 + x)}^{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{2}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(3 + x)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 {(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{2}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 {(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 {(3 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 {(3 + 0)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Addiere $3$ und $0$ .

$3 \cdot 3^{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{1 + 2}$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3^{3}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27$