Analysis Beispiele

$f (x) = e^{\frac{1}{4 x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{4 x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{4 x}$ .

$e^{\frac{1}{4 x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{\frac{1}{4 x}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{\frac{1}{4 x}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} (- x^{- 2})$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4}$ und $x^{- 2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{4 x}} x^{- 2}}{4}$

Schritt 2.4.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4 x^{2}}$