Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\csc (3 x)}{\cot (3 x)}$

Schritt 1

Schreibe $\cot (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\csc (3 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}]$

Schritt 2

Schreibe $\csc (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{1}{\sin (3 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ zu dividieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (3 x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (3 x)}]$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos (3 x)}$ nach $\sec (3 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Schritt 7.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$