Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere ${(1 - x)}^{- 2}$ mit $1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(1 - x)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 3.7

Mutltipliziere ${(1 - x)}^{- 2}$ mit $1$ .

${(1 - x)}^{- 2}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$