Analysis Beispiele

$f (x) = 10^{x \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 10^{x}$ und $g (x) = x \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $10$ .

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x \cos (x)$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x))) + 10^{x \cos (x)} \ln (10) \cos (x)$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$- 10^{x \cos (x)} x \sin (x) \ln (10) + 10^{x \cos (x)} \cos (x) \ln (10)$