Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- x^{- 2} - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{- 2} - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.8

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Schritt 4.6

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Schritt 4.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Schritt 4.6.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Schritt 6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Schritt 7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 8

Vereine die Terme

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Schritt 8.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 8.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$