Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x + 5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 25$ und $g (x) = x + 5$ .

$\frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25] - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 5$ .

$\frac{2 \cdot (x + 5) x - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 25$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2} + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 3.5.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 5)}^{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1$