Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 7 x - 8$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 8] - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 7 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $2 x - 7$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x - 7) + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.3

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Addiere $- 7 x$ und $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 7 + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 5 x$ und $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $- 7$ und $8$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1$