Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 1}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ heraus.

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Schritt 2.10.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (2 x - 3)$ heraus.

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

Schritt 2.10.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ heraus.

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

Schritt 2.10.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))$ heraus.

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x + 0 + 6 x - 2}{x^{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$\frac{- 3 x + 6 x - 2}{x^{3}}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 3 x$ und $6 x$ .

$\frac{3 x - 2}{x^{3}}$