Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{(x + 5) (x^{2} + 5)}{x - 8}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = (x + 5) (x^{2} + 5)$ und $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [(x + 5) (x^{2} + 5)] - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 5$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + 0) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 5$ .

$\frac{(x - 8) (2 \cdot (x + 5) x + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + 0)) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) \cdot 1) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $x^{2} + 5$ mit $1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.11

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 8) ((2 x + 2 \cdot 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 10 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.3

Multipliziere $(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.4.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.4.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 \cdot x - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.7

Mutltipliziere $10$ mit $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.8

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.5

Subtrahiere $24 x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} + 5 x - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.6

Subtrahiere $80 x$ von $5 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.8

Multipliziere $(- x - 5) (x^{2} + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x (x^{2} + 5) - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.9.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.9.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.9.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.4.1.9.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{2 + 1} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.9.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.9.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.1.9.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $- 14 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.4

Subtrahiere $5 x$ von $- 75 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 40 - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Schritt 4.4.5

Subtrahiere $25$ von $- 40$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 65}{{(x - 8)}^{2}}$