Analysis Beispiele

$f (x) = {(x + 9)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x + 9$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 9$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 9)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x + 9)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 6.3

Bringe ${(x + 9)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}}$