Analysis Beispiele

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 6 x + 5$ und $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Schritt 2.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $6 x + 5$ .

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $6$ und $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

Schritt 2.10.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{3} - 2$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Schritt 3.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Schritt 3.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Schritt 3.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

Schritt 3.4.5

Addiere $18 x^{3}$ und $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$