Analysis Beispiele

$f (x) = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 2 x e^{x}$ und $e^{x} (2 x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $- 2 x e^{x}$ und $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Schritt 4.3.3

Addiere $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ und $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $2 e^{x}$ von $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Schritt 4.3.5

Addiere $x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $x^{2} e^{x}$ um.

$e^{x} x^{2}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2}$ um.

$x^{2} e^{x}$