Analysis Beispiele

$x^{2} (120 - x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 120 - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [120 - x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $120 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- x^{2} + (120 - x) (2 x)$

Schritt 2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $120 - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (120 - x) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + (2 \cdot 120 + 2 (- x)) x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 2 \cdot 120 x + 2 (- x) x$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $120$ .

$- x^{2} + 240 x + 2 (- x) x$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x \cdot x$

Schritt 3.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x)$

Schritt 3.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x^{1})$

Schritt 3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{1 + 1}$

Schritt 3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{2}$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 240 x$