Analysis Beispiele

$x^{2} \arctan (2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$x^{2} (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (2 x)$

Schritt 4

Um $\arctan (2 x) (2 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{3}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 2 \arctan (2 x) x^{3} \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.2.2

Stelle die Faktoren in $2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}$ um.

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$