Analysis Beispiele

$x^{2} \ln (2 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x + 1}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ und $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) (2 x)$

Schritt 4

Um $\ln (2 x + 1) (2 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{2} + \ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln (2 x + 1) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache $2 \ln (2 x + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x) + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.6.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) (x \cdot x) + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.6.2

Vereinfache $2 \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.6.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren in $2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ um.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln ({(2 x + 1)}^{4}) + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$