Analysis Beispiele

$x^{2} \sin (x) \tan (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} \sin (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$x^{2} \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Schritt 3

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x)) + \tan (x) (\sin (x) (2 x))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) x^{2} \cos (x) + \tan (x) \sin (x) (2 x)$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$x^{2} \sec^{2} (x) \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$x^{2} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.5

Kombiniere $\frac{x^{2}}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.6

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.6.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} (\cos (x) \tan (x)) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.6.2

Stelle $\cos (x)$ und $\tan (x)$ um.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} (\tan (x) \cos (x)) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.6.3

Schreibe $x^{2} \cos (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.7

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + 2 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.8

Multipliziere $2 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 6.4.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + x \sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.8.2

Kombiniere $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ und $x$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 \sin (x) x}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 6.4.8.3

Kombiniere $\frac{2 \sin (x) x}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 \sin (x) x \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.8.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.8.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.8.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.8.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5.2

Separiere Brüche.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5.4

Separiere Brüche.

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{x^{2}}{1} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5.6

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5.7

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Schritt 6.5.8

Separiere Brüche.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5.9

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin (x))}{1} \tan (x)$

Schritt 6.5.10

Dividiere $2 x (\sin (x))$ durch $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + 2 x (\sin (x)) \tan (x)$