Analysis Beispiele

$x^{5} - 2 e^{6 x}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 2 e^{6 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{6 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{6 x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{6 x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{6 x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{6 x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 x^{4} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$5 x^{4} - 2 (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 2 (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 2 (e^{6 x} (6 \cdot 1))$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$5 x^{4} - 2 (e^{6 x} \cdot 6)$

Schritt 2.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $e^{6 x}$ .

$5 x^{4} - 2 (6 \cdot e^{6 x})$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$5 x^{4} - 12 e^{6 x}$