Analysis Beispiele

$1 + \sqrt{x}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$