Analysis Beispiele

$\frac{x - 1}{x - 6}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x - 6$ .

$\frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 6) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 6) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 6 - x - - 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 - x - - 1$ .

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 6 - - 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$\frac{- 6 - - 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 + 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 6$ und $1$ .

$\frac{- 5}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{{(x - 6)}^{2}}$