Analysis Beispiele

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.3.2

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x + 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} (- x + 2)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

Schritt 4.6.2.4

Dividiere $e^{- x} (- x + 2)$ durch $1$ .

$e^{- x} (- x + 2)$

Schritt 4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

Schritt 4.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

Schritt 4.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

Schritt 4.10

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ um.

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$