Analysis Beispiele

$\frac{x - 5}{x^{2} - 3 x + 15}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 5$ und $g (x) = x^{2} - 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 3 x + 15$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x + 15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 2.11

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x - - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x + 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $(- x + 5) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.2

Addiere $3 x$ und $10 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15$ .

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x + 0}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $- 3 x$ und $13 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + 10 x$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x) + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{x (- x) + x \cdot 10}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot 10$ heraus.

$\frac{x (- x + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.5

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{x (- (x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 10)$ heraus.

$\frac{x (- (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe $- (x - 10)$ als $- 1 (x - 10)$ um.

$\frac{x (- 1 (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (x - 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$