Analysis Beispiele

$3 x - 5 \cos^{2} (π x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 5 \cos^{2} (π x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 \cos^{2} (π x)$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$ .

$3 - 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (π x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (π x)$ .

$3 - 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 - 5 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (π x)$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $π x$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]))$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $π x$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]))$

Schritt 3.4

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \cdot 1)))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) π))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 - 5 (- 2 \cos (π x) (\sin (π x) π))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$3 + 10 \cos (π x) \sin (π x) π$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$10 π \cos (π x) \sin (π x) + 3$