Analysis Beispiele

$3 \ln (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (\frac{1}{x})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{x}$ zu dividieren.

$3 (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 x (- x^{- 2})$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x \cdot x^{- 2}$

Schritt 7

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$- 3 (x^{- 2} x)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 3 (x^{- 2} x^{1})$

Schritt 7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 x^{- 2 + 1}$

Schritt 7.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 3 x^{- 1}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x}$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x}$

Schritt 8.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x}$