Analysis Beispiele

$4 x e^{3 x}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x e^{3 x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{3 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$4 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$4 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $e^{3 x}$ mit $1$ .

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x (3 e^{3 x})) + 4 e^{3 x}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$ um.

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$