Analysis Beispiele

$4 \sin^{2} (3 x)$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin^{2} (3 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (3 x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (3 x)$ .

$4 (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$8 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$8 \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$8 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$24 \sin (3 x) \cos (3 x)$

Schritt 5.4.2

Stelle die Faktoren von $24 \sin (3 x) \cos (3 x)$ um.

$24 \cos (3 x) \sin (3 x)$