Analysis Beispiele

$\frac{x}{1 + x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.7.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$