Analysis Beispiele

$x^{\frac{2}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{2}{x}}$ als $e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{2}{x}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2}{x} \ln (x)}]$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 \ln (x)}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Schritt 6

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}})$

Schritt 7.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Schritt 7.4.3

Kombiniere $e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}$ und $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (1 - \ln (x)))}{x^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \cdot 2 + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ .

$\frac{2 \cdot e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + 2 \cdot - 1 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.6

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.7

Multipliziere $- 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)$ .

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Schritt 8.3.1.7.1

Stelle $\ln (x)$ und $- 2$ um.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 \cdot \ln (x) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.7.2

Vereinfache $- 2 \cdot \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 8.3.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ um.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2})}{x^{2}}$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2}) + 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$