Analysis Beispiele

$x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.5

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{\frac{4}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 12

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{\frac{4}{3}} + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2

Vereine die Terme

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.2

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.6

Um $2 x^{\frac{4}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.7

Kombiniere $2 x^{\frac{4}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 13.2.10

Addiere $6 x^{\frac{4}{3}}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$