Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{x} (x + 1)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x + 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x + 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.2

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 11.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.3.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.5

Um $x^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.6

Kombiniere $x^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.9

Addiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$