Analysis Beispiele

$\sqrt{\arctan (x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\arctan (x)}$ als ${\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \arctan (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 7.3

Bringe ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 8

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4

Faktorisiere $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.2

Faktorisiere $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)}$

Schritt 10.4.3

Faktorisiere $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)$ heraus.

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$