Analysis Beispiele

$\sqrt{\sin (3 x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sin (3 x)}$ als ${\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sin (3 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 7.3

Bringe ${\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 9

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Kombiniere $\cos (3 x)$ und $\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 9.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.3

Kombiniere $3$ und $\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$