Analysis Beispiele

$e^{3 \ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 \ln (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 \ln (x)$ .

$e^{3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$e^{3 \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{3 \ln (x)} (3 \frac{1}{x})$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{3 \ln (x)} \frac{3}{x}$

Schritt 4.2

Kombiniere $e^{3 \ln (x)}$ und $\frac{3}{x}$ .

$\frac{e^{3 \ln (x)} \cdot 3}{x}$

Schritt 4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 \ln (x)}$ .

$\frac{3 \cdot e^{3 \ln (x)}}{x}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 e^{\ln (x^{3})}}{x}$

Schritt 5.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{3 x^{3}}{x}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{x (3 x^{2})}{x}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2}}{1}$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$3 x^{2}$