Analysis Beispiele

$\sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{3} (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 3

Multipliziere $\sin^{3} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $\sin (x)$ .

$\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{3} (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin^{4} (x)$ .

$- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 \sin^{4} (x)$ als $- \sin^{4} (x)$ um.

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cdot \cos (x) \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos (x) \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin^{2} (x)$

Schritt 9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin^{2} (x)$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sin^{4} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin^{2} (x)$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$