Analysis Beispiele

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Multipliziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 1 (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\sin (x) + \cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

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Schritt 7.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) (- \sin (x))$ und $\cos (x) \sin (x)$ neu an.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.1.2

Addiere $- \cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + 0}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.1.3

Addiere $\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.2.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.2.2

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.2.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.3

Ordne Terme um.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.3.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7.4

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\sec^{2} (x)$