Analysis Beispiele

$e^{\frac{2}{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{2}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2}{x}$ .

$e^{\frac{2}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{\frac{2}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{\frac{2}{x}} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{\frac{2}{x}} (2 (- x^{- 2}))$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{\frac{2}{x}} (- 2 x^{- 2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{2}{x}} (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{2}{x}} \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\frac{2}{x}} (- \frac{2}{x^{2}})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $e^{\frac{2}{x}}$ und $\frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{2}{x}} \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 3.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{\frac{2}{x}}$ .

$- \frac{2 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}}$