Analysis Beispiele

$\frac{- 6}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{{(x - 1)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{{(x - 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ als ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- 6 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$- 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$- 6 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$12 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$12 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 {(x - 1)}^{- 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{12}{{(x - 1)}^{3}}$