Analysis Beispiele

$5^{- \frac{1}{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 5^{x}$ und $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + 0)$

Schritt 3.5.2

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$ um.

$5^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (5)$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (5)$

Schritt 4.3

Kombiniere $5^{- \frac{1}{x}}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (5)$

Schritt 4.4

Kombiniere $\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ und $\ln (5)$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}} \ln (5)}{x^{2}}$