Analysis Beispiele

$\frac{6 x}{x + 5}$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{x + 5}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 5$ .

$6 \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x + 5$ mit $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$6 \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$6 \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Addiere $0$ und $5$ .

$6 \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6.5

Kombiniere $6$ und $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.6.6

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{30}{{(x + 5)}^{2}}$