Analysis Beispiele

$\frac{- 48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$- 48 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 12)}^{2}$ mit $1$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 12$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus ${(x^{2} + 12)}^{2}$ heraus.

$- 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ heraus.

$- 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ heraus.

$- 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x^{2} + 12$ aus ${(x^{2} + 12)}^{4}$ heraus.

$- 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 9

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 14

Addiere $1$ und $1$ .

$- 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 48 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 16

Kombiniere $- 48$ und $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$\frac{- 48 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{48 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $48$ .

$- \frac{- 144 x^{2} + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Schritt 18.2.2

Mutltipliziere $48$ mit $12$ .

$- \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$