Analysis Beispiele

$\frac{4 - \cos (x)}{4 + \sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 - \cos (x)$ und $g (x) = 4 + \sin (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 - \cos (x)] - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (- - \sin (x)) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (1 \sin (x)) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + (- 1 \cdot 4 - - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.3

Multipliziere $- - \cos (x)$ .

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Schritt 6.4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.4

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 6.4.1.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{4 \sin (x) + 1 - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 6.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1 + 4 \sin (x) - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$