Analysis Beispiele

$\frac{4 x + 2}{4 x - 2}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x + 2$ und $4 x - 2$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x) + 2}{4 x - 2}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x) + 2 (1)}{4 x - 2}]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{4 x - 2}]$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{2 (2 x) - 2}]$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{2 (2 x) + 2 (- 1)}]$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{2 (2 x - 1)}]$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x + 1)}{2 (2 x - 1)}]$

Schritt 1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x + 1}{2 x - 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + 1$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - (2 x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) - 2 (2 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Subtrahiere $2 (2 x)$ von $2 (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $2 \cdot - 1$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 - 2 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 2 - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$\frac{- 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{{(2 x - 1)}^{2}}$