Analysis Beispiele

$\frac{3 x + 300}{40 x + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x + 300$ und $g (x) = 40 x + 7$ .

$\frac{(40 x + 7) \frac{d}{d x} [3 x + 300] - (3 x + 300) \frac{d}{d x} [40 x + 7]}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 300$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [300]$ .

$\frac{(40 x + 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [300]) - (3 x + 300) \frac{d}{d x} [40 x + 7]}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(40 x + 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [300]) - (3 x + 300) \frac{d}{d x} [40 x + 7]}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(40 x + 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [300]) - (3 x + 300) \frac{d}{d x} [40 x + 7]}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(40 x + 7) (3 + \frac{d}{d x} [300]) - (3 x + 300) \frac{d}{d x} [40 x + 7]}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $300$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $300$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(40 x + 7) (3 + 0) - (3 x + 300) \frac{d}{d x} [40 x + 7]}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{(40 x + 7) \cdot 3 - (3 x + 300) \frac{d}{d x} [40 x + 7]}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $40 x + 7$ .

$\frac{3 \cdot (40 x + 7) - (3 x + 300) \frac{d}{d x} [40 x + 7]}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $40 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 (40 x + 7) - (3 x + 300) (\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40 x$ nach $x$ gleich $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (40 x + 7) - (3 x + 300) (40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (40 x + 7) - (3 x + 300) (40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $40$ mit $1$ .

$\frac{3 (40 x + 7) - (3 x + 300) (40 + \frac{d}{d x} [7])}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (40 x + 7) - (3 x + 300) (40 + 0)}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $40$ und $0$ .

$\frac{3 (40 x + 7) - (3 x + 300) \cdot 40}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $40$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (40 x + 7) - 40 (3 x + 300)}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (40 x) + 3 \cdot 7 - 40 (3 x + 300)}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (40 x) + 3 \cdot 7 - 40 (3 x) - 40 \cdot 300}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $40$ mit $3$ .

$\frac{120 x + 3 \cdot 7 - 40 (3 x) - 40 \cdot 300}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{120 x + 21 - 40 (3 x) - 40 \cdot 300}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 40$ .

$\frac{120 x + 21 - 120 x - 40 \cdot 300}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 40$ mit $300$ .

$\frac{120 x + 21 - 120 x - 12000}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $120 x + 21 - 120 x - 12000$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $120 x$ von $120 x$ .

$\frac{0 + 21 - 12000}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $0$ und $21$ .

$\frac{21 - 12000}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $12000$ von $21$ .

$\frac{- 11979}{{(40 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11979}{{(40 x + 7)}^{2}}$