Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x - 3 x}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x + x \cdot - 3}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 3$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 3)}{x^{2}}]$

Schritt 2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 3)}{x \cdot x}]$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 3)}{x \cdot x}]$

Schritt 2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - (x - 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - (x - 3)}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x - - 3}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - - 3}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $- 3$ von $0$ .

$\frac{- - 3}{x^{2}}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{3}{x^{2}}$