Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + 3 y^{2}}{e^{x^{2} + y^{2}}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 3 y^{2}$ und $g (x) = e^{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{{(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{(x^{2} + y^{2}) \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{x^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + y^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2}}}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 2.4

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 2.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 4.3

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - 2 (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 6 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x) - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x \cdot x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x^{1} x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{1 + 2} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.2.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.2.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)$ um.

$\frac{2 x e^{x^{2} + y^{2}} - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} x e^{x^{2} + y^{2}}}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ aus $2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ aus $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ heraus.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ aus $- 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3}$ heraus.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ aus $- 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ heraus.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ aus $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2})$ heraus.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ aus $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})$ heraus.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x^{2} + y^{2}}$ und $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ aus $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ heraus.

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{1}$

Schritt 5.5.2.4

Dividiere $2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ durch $1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2}) - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Schritt 5.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Schritt 5.8

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Schritt 5.9

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x \cdot 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Schritt 5.10

Vereinfache.

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Schritt 5.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Schritt 5.10.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.10.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Schritt 5.10.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.10.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x^{1}) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Schritt 5.10.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{2 + 1} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Schritt 5.10.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Schritt 5.10.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

Schritt 5.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

Schritt 5.12

Stelle die Faktoren in $2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$ um.

$2 x e^{- x^{2} - y^{2}} - 2 x^{3} e^{- x^{2} - y^{2}} - 6 x y^{2} e^{- x^{2} - y^{2}}$