Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2}{\sqrt{x} + 2}]$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2}{x^{\frac{1}{2}} + 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2] - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 8.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 10

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 13

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 14

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 16

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 16.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 17

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 17.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 17.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 18

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 19

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.4.1.1

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ von $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.1.2

Addiere $2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- - 2$ heraus.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 + 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.5.1

Schreibe $\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$ als ein Produkt um.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Schritt 20.5.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$