Analysis Beispiele

$\frac{\sin^{2} (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin^{2} (3 x)$ und $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\cos (3 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 5

Potenziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 6

Potenziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\cos (3 x)}^{1 + 1} \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 8.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1 - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $3 x$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 9.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 9.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $3 x$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 10

Multipliziere.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 1 \sin^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 11

Multipliziere $\sin^{2} (3 x)$ mit $\sin (3 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Bewege $\sin (3 x)$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin (3 x) \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\sin (3 x)$ mit $\sin^{2} (3 x)$ .

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Schritt 11.2.1

Potenziere $\sin (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + {\sin (3 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 11.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) (3 \cdot 1)}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}$

Schritt 14.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin^{3} (3 x)$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 3 \sin^{3} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$