Analysis Beispiele

$\frac{e^{5 x}}{x^{15}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{5 x}$ und $g (x) = x^{15}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{{(x^{15})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{15})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{15 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$\frac{x^{15} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{15} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \cdot 5) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{15} (5 \cdot e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 15$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - e^{5 x} (15 x^{14})}{x^{30}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Schritt 5.1.2

Stelle die Faktoren in $5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}$ um.

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 x^{14} e^{5 x}}{x^{30}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $5 e^{5 x} x^{14}$ aus $5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $5 e^{5 x} x^{14}$ aus $5 e^{5 x} x^{15}$ heraus.

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $5 e^{5 x} x^{14}$ aus $- 15 e^{5 x} x^{14}$ heraus.

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)}{x^{30}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $5 e^{5 x} x^{14}$ aus $5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)$ heraus.

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)}{x^{30}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{14}$ und $x^{30}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x^{14}$ aus $5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)$ heraus.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{30}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x^{14}$ aus $x^{30}$ heraus.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 e^{5 x} (x - 3)}{x^{16}}$