Analysis Beispiele

$\frac{2 x^{2} + 1}{\tan (x^{3})}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{2} + 1$ und $g (x) = \tan (x^{3})$ .

$\frac{\tan (x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 2.6

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) (3 x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - 3 (2 x^{2} + 1) (\sec^{2} (x^{3}) (x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) + (- 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot 1) (\sec^{2} (x^{3}) (x^{2}))}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x^{3}) (4 x) - 3 (2 x^{2}) (\sec^{2} (x^{3}) x^{2}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{2}) (\sec^{2} (x^{3}) x^{2}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 (x^{2} x^{2})) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{2 + 2}) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 3 (2 x^{4}) \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \cdot 1 (\sec^{2} (x^{3}) x^{2})}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}}{\tan^{2} (x^{3})}$

Schritt 5.3.2

Stelle die Faktoren in $4 \tan (x^{3}) x - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}$ um.

$\frac{4 x \tan (x^{3}) - 6 x^{4} \sec^{2} (x^{3}) - 3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\tan^{2} (x^{3})}$