Analysis Beispiele

$\frac{1 - 2 x}{3 + x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 2 x$ und $g (x) = 3 + x$ .

$\frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(3 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 + x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 + x) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(3 + x) \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $3 + x$ .

$\frac{- 2 \cdot (3 + x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2 x - (1 - 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 6 - 2 x - 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 - 2 x - 1 + 2 x}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 6 - 2 x - 1 + 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{- 6 + 0 - 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 6$ und $0$ .

$\frac{- 6 - 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $1$ von $- 6$ .

$\frac{- 7}{{(3 + x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{{(3 + x)}^{2}}$